מכל מלמדײ השכלתי (duchifat) wrote,
מכל מלמדײ השכלתי
duchifat

Category:
Вел сегодня занятие по динамике. Утренние занятия у нас отменили из за заморозков, но вечерние нет. Готовиться лень было, стали экспромтом разбирать разные задачи на колебания (там всего пять grad students, это ближе к семинарам, чем к лекциям). Я им закрутил задачу, типа, цилиндр радиуса r катится внутри вогнутой поверхности радиуса R , да еще и к нему привязана пружина жесткости k. Написать уравнения Лагранжа, найти собственную частоту малых колебаний. В такой задаче у большинства студентов возникает ошибка чисто в геометрии, в нахождении правильного соотношения между позицией цилиндра и углом поворота. Целый час решали, разобрались, нашли частоту. Потом я говорю, ну хорошо, давайте посмотрим, что будет без пружины, в пределе k=0. Посмотрели, вышло (2/3*g/(R-r))1/2. Говорю, вот это по сути такой катающийся маятник, видите, даже от массы не зависит. А дaвайте посмотрим (говорю без задней мысли), что будет в пределе, когда он превращается в материальную точку, r=0? Посмотрели получилось (2/3*g/R)1/2. Хм, говорю, вообще-то я думал, что должен быть математический маятник (g/R)1/2... Похоже, мы где-то напортачили. Стали думать, черт его знает.

Тут я говорю, смотрите, вот диск катится по плоскости со скоростью V=omega*r. Его момент инерции I=(1/2)mr2 относительно центра или I=(3/2)mr2 относительно точки касания, а энергия K=I*омега2/2=(3/4)mr2*омега2=(3/4)m*V2. Теперь представьте, что мы радиус устремили к нулю (r=0), превратив цилиндр в материальную точку. Энергия все равно (3/4)m*V2. А должно быть для точки (1/2)m*V2! Разница в 3/2 раза из за того, что наша материальная точка вращается, причем так быстро, что несмотря на нулевой момент инерции у нее ненулевая кинетическая энергия вращения! То же и в нашей задаче.

И тут я прибалдел - неужели я этого элементарного примера никогда не знал? Или забыл по причине старческого маразма? Смотрите, говорю, как это круто! В этом примере и разница между Ньютоном и Эйлером, и лорд Кельвин со светоносным эфиром. Последней фразы я, впрочем, не сказал, но подумал (пойнт в том, что материальная точка имеет не только массу, а тензор инерции). Ушел с лекции удивленный, немного. Хорошо быть тупым, узнаешь много нового! :)
Tags: mechanics, teaching
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Comments allowed for friends only

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 10 comments