מכל מלמדײ השכלתי (duchifat) wrote,
מכל מלמדײ השכלתי
duchifat

Categories:

Scaling, Self-similarity, and Intermediate Asymptotics

Продолжаю читать весьма интересную книгу Григория Исааковича Бaренблатта "Scaling, Self-similarity, and Intermediate Asymptotics". Я бы выделил три тезиса, которые произвели нa меня впечатление, т.е. показались прикольными.

1. В первой главе автор обсуждает анализ размерностей физических величин. Известно, что величины бывают базовыми (например: метр, килограмм, секунда) и производными (например, джоуль - это kg*m^2*s^-2). Производные величины ВСЕГДА являются степенными одночленами (power-law monomials). А собственно, почему, откуда это следует? Чем умножение и степенная функция такие особенные по сравнению с другими функциями, что размерности всегда у нас имеют вид км/час или доллар/сутки, но никогда exp(минута) или ln(метр)? Оказывается, причина этого в том, что нет выделенных систем единиц, все они равноправны. В частности, количественное отношение производных единиц не должно зависить от системы единиц (скажем, не важно измеряем ли мы в метрах и килограммах или в дюймах и футах, если одна сила больше другой в 10 раз, то она останется больше, хоть в динах, хоть в ньютонах, хоть в фунтах). Из этого соображения выводится функциональное уравнение
φ(L2, M2, T2) / φ(L1, M1, T1) = φ(L2/L1, M2/M1, T2/T1)
где L, M, и Т - численные значения длины, массы и времени (вместо них могут быть и любые другие величины) в двух разных системах единиц. Это функциональное уравнение сводится к дифференциальному уравнению, имеющему решение только в виде степенного одночлена:
φ = LαMβTγ
При этом показатели степени α, β, γ не обязательно целые числa.

* * *


2. В качестве примера промежуточной асимптотики автор обсуждает задачу o проникновении воды через пористый метериал. Нет, это совсем не про перколяции, как можно было бы подумать в этом контексте, а так называемое "уравнение Баренблатта". Пересказываю своими словами (не совсем как в книге). Представим пористый слой грунта глубиной h (под ним находится водонепроницаемая порода). В грунте пробурена вертикальная цилиндрическая (радиуса r*) скважина глубиной h, которyю быстро заполняют водой, а потом оставляеют в покое, и вода относительно медленно растекается из скважины во все стороны через грунт. Задача имеет два варианта. В первом (простом) случае объем воды сохраняется (он, разумеется, равен объему скважины, pi*r^2*h). Найти нужно u(t,r) высоту (над непроницаемой платформой) воды в грунте в момент времени t на расстоянии r от скважины. При этом задача
а) Очень хорошо скейлится, заменой переменных ξ=r/(Qkt)1/4 . То есть, если известно решение в произвольный момент времени t, то легко построить решение в любой другой момент времени. Вместо дифференциального ур-я в частных производных для неизвестной функции двух переменных u(r, t) достаточно решить обыкновенное дифф. ур-е для u(ξ), что проще.
б) Вообще-то решение - эллипс (точнее, полу-эллипсоид постоянного объема)
в) Самое важное: решение не зависит от начального малого радиуса скважины r*. Это как бы дельта-функция. В пределе r*->0 решение не меняется. Почему это важно? Потому что иначе в нашей задаче был бы еще один масштаб порядка длины или величина η=r*/(Qkt)1/4 (где Q - объем воды и k - проницаемость пористого грунта). В этом случае все соображания, касающиеся скейлинга, не работали бы - ведь у нас появилась выделенная единица длины. Однако по счастью, в пределе (узкой и высокой скважины) η->0 задача имеет то же решение, что и при конечном η (или r*).

Далее Баренблатт рассматривает более сложную модификацию той же задачи. А что будет, если часть воды (например, 10%) из-за действия капиллярных сил не может протекать из пОры, где она находится, и застревает там навсегда? Основная масса воды все равно будет растекаться, но объем этой основной массы будет все время уменьшаться, потому что часть воды застревает в порах. То есть мы имеем основной объем воды в грунте (как и в первой задаче) и "остаточный объем" там, где основная масса воды была, но откуда ушла. Оказывается, что в этом случае простые соображания скейлинга не работают, потому что невозможно избавиться от характерного размера r* (или его безразмерного аналога η). Другими словами, в пределе узкой и глубокой скважины, η->0, задача не имеет более решения. Таким образом, наличие характерного масштаба длины принципиально. Почему это так? Я так для себя понимаю, что потеря воды пропорциональна границам объема, занимаемого основной массой воды. Если объем воды πr*2h сосредоточен в тонкой (r* -> 0) и глубокой (h -> к бесконечности) скважине, то поверхность этого объема стремится к бесконечности, и к ней же стремится потеря объема в самый начальный момент. То есть начинать нужно с некого конечного радиуса скважины r*. Простой метод скейлинга не работает. Другими словами, в этом случае нельзя представить высоту основного объема воды как функцию одной переменной u(ξ). Вместо этого она зависит от u(ξ, η), причем u(ξ, 0) не определено. Однако, счастливым образом все еще можно асимптотически описать поведение этой функции в пределе η->0 в виде u(ξ, η) ~ ηαφ(ξ/ηα/2) где α это степень сингулярности (или, насколько я понял, критическая экспонента). Таким образом задачу опять удалось свести к обычному диф ур-ю для функции φ(ξ/ηα/2), при этом параметр α должен быть определен из отдельного нелинейного уравнения, для которого он является собственным значением.

Эти две задачи иллюстрируют то, что Б-тт называет задачами первого и второго типа, решаемых из соображений размерности. Причем второй тип - более общий.

* * *


3. Классификация нелинейных волн полностью совпадает с классификаций (двумя типами) самоподбных решений, вроде рассмотренных в предыдущем пункте. Аналогия между скоростью волны u = f(ζ-λτ+c) и экспонентой преобразования подобия (из каковой аналогии следует эквивалентность двух типов нелинейных волн двум типам промежуточных асимптотик) достигается простым преобразованием ζ=ln(x), τ=ln(t), c=-ln(A), немедленно дающим u = F(x / Atλ) (аналог рассмотренного выше φ = LαMβTγ). Смысл этой аналогии понять сложнее: какая связь между бегущей в пространстве волной и самоподобием решения? В чем состоит аналог отсутствия предела η->0 при для самоподобных решений второго типа?

Я для себя это истолковал так. Выше было сказано, что причина того, что функция размерности всегда - степенной одночлен (power-law monomial) состоит в том, что нет выделенных систем единиц, все они равноправны. Аналог этого принципа при применении соответствующего преобразования -- что нет выделенных инерциальных систем отсчета, все они равноправны. То есть попросту принцип относительности Галилея. Равномерноть бегущего в пространстве движения аналогична "калибровочной" инвариантности, связанной с независимостью выбора масштаба единиц измерения.

Скорость распространения волн первого типа, например, "ударных волн в газовой динамике" зависит только от локальных "законов сохранения". Скорость распространения волн второго типа зависит от внутренней "структуры волны", которая определяется из "условия существования глобального решения". Примеры: распространение пламени и "волна распространения успешного гена" или (насколько я понял) волны реакции-диффузии. В этом случае скорость волны определяется как некое собственное значение глобального нелинейного уравнения, и в этом аналогия с определением экспонент в предыдущем случае.

До конца аналогию я пока не просек, но, явно, это крайне интересно. Пишу сюда, в основном, чтобы сформулировать для себя и запомнить. :)
Tags: mechanics
Subscribe

  • (no subject)

    Представьте, что вам нужно объяснить папуасу, что такое приложение для айфона. Скажем, игра в танки или в злых птиц. Это почти невозможно. Сначала…

  • (no subject)

    1. Меня медитация и транс (как и другие способы работы с подсознанием) интересуют в смысле возможности посмотреть на себя со стороны, но не в смысле…

  • Есть многое на свете, друг Горацио, что и не снилось вашим папарацци

    ИТМО, конечно, иногда удивляет креакловским карго-культом, который совершенно параллелен (и даже перпендикулярен без пересечений) реалиям первого…

  • Post a new comment

    Error

    Comments allowed for friends only

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments