מכל מלמדײ השכלתי (duchifat) wrote,
מכל מלמדײ השכלתי
duchifat

колебательное

Пока летел в самолете из Сиэтла, читал книгу Арнольда (Мат. методы классической механики), в прошлый раз я ее читал 25 лет назад. Любопытное про кратности частот:

"Здесь мы рассмотрим общий вопрос о том, при каких значениях параметров спектр собственных чисел вырождается, т. е. соответствующий эллипсоид становится эллипсоидом вращения. Заметим, что собственные числа квадратичной формы в евклидовом пространстве (или длины осей эллипсоида) непрерывно меняются при непрерывном изменении параметров системы (коэффициентов формы). Кажется естественным ожидать, что в зависящей от одного параметра системе при изменении параметра в отдельные моменты одно из собственных чисел будет сталкиваться с другим, так что при отдельных значениях параметра система будет иметь кратный спектр.

Представим себе, например, что мы хотим превратить эллипсоид инерции твердого тела в эллипсоид вращения, перемещая по жестко закрепленной в теле штанге одну юстировочную массу, так что в нашем распоряжении имеется один параметр. Три главные оси инерции а, b, с будут непрерывными функциями от этого параметра, и на первый взгляд кажется, что при надлежащем значении параметра (р) можно добиться равенства двух осей,-скажем а(р) = b (р).

Оказывается, однако, что дело обстоит в действительности не так и что, вообще говоря, нужно перемещать не менее двух юстировочных масс, чтобы сделать эллипсоид инерции эллипсоидом вращения.

Вообще, кратный спектр в типичных семействах квадратичных форм наблюдается лишь при двух или более параметрах, а в однопараметрических семействах общего вида спектр при всех значениях параметра простой. Практически это проявляется в том, что при изменении параметра в типичном однопара-метрическом семействе собственные числа могут тесно сближаться, но, подойдя достаточно близко одно к другому, как бы начинают отталкивать друг друга и снова расходятся, обманув надежду меняющего параметр лица добиться кратного спектра.
....

Пример. Рассмотрим случай n = 2, т. е. эллипсы на плоскости. Эллипс определяется тремя параметрами (например, двумя длинами осей и углом, задающим направление одной из них). Таким образом, многообразие эллипсов на плоскости трехмерно, как и должно быть по нашей формуле.

Окружность же определяется одним параметром (радиусом). Таким образом, многообразие окружностей в пространстве эллипсов — это линия в трехмерном пространстве, а не поверхность^ как кажется на первый взгляд."




На этом месте удивление читателя достигает максимума. Действительно, эллипс характеризуется тремя параметрами (длинами двух полуосей и наклоном большой полуоси). Окружность имеет равные длины (a=b) и ЛЮБОЙ наклон. То есть, казалось бы, окружность соответствует поверхности (а не линии) в трехмерном пространстве параметров. Oднако на деле там вылезает сумма квадратов:

"Этот «парадокс» становится, быть может, более понятным из следующего вычисления. Квадратичные формы Ax2 + 2Вху + Cy2 с равными собственными числами образуют в трехмерном пространстве с кoординатами А, В, С многообразие, заданное одним уравнением lambda1 = lambda2, где lambda1,2 (А, В, С) — собственные числа. Однако левая часть этого уравнения является суммой двух квадратов, что видно из формулы для дискриминанта характеристического уравнения

Д = (А + С)2 — 4 (AC — B2) = (А —С)2 + 4B2.

Таким образом, одно уравнение Д = 0 определяет в трехмерном пространстве квадратичных форм прямую (А = С, В = 0), а не поверхность.

Простейший вывод из того, что многообразие эллипсоидов вращения имеет коразмерность 2, состоит в том, что это многообразие не делит пространство всех эллипсоидов (а многообразие квадратичных форм с кратным спектром не делит пространство квадратичных форм), подобно тому как прямая не делит трехмерное пространство.

Следовательно, мы можем утверждать не только, что у эллипсоида «общего положения» все оси разной длины, но и что любые два такие эллипсоида можно соединить гладкой кривой в пространстве эллипсоидов, сплошь состоящей из эллипсоидов с осями разной длины. Более того, если два эллипсоида общего положения соединены гладкой кривой в пространстве эллипсоидов, на которой есть точки, являющиеся эллипсоидами вращения, то сколь угодно малым шевелением кривой можно снять ее с множества эллипсоидов вращения, так что на новой кривой все точки будут эллипсоидами без кратных осей.

Из сказанного вытекает, в частности, простое доказательство теоремы о возрастании собственных частот при возрастании жесткости системы. Действительно, производные некратного собственного числа квадратичной формы по параметру определяются производной квадратичной формы по соответствующему собственному направлению. Если жесткость растет, то потенциальная энергия растет по каждому направлению, в том числе и по собственному. Значит, и собственная частота растет. Тем самым мы доказали теорему о возрастании частот в случае, когда от исходной системы к более жесткой можно перейти, минуя кратный спектр. Доказательство в присутствии кратного спектра получается теперь предельным переходом на основании того, что внутреннюю часть пути перехода от исходной системы к более жесткой можно сдвинуть с множества систем с кратным спектром сколь угодно малым шевелением."


Почему частоты почти сходятся и отталкиваются, он тоже объясняет. Они ведут себя как сечения некоего "двуполого конуса, вершина которого отвечает особой точке, а каждая из половин — одному из собственных чисел". Соответственно, при приближении к вершине сходятся, а потом разбегаются.
Tags: mechanics
Subscribe

  • (no subject)

    Согласно Карлу Юнгу, есть вертикальные причинные связи между событиями и есть горизонтальные - синхроничность. (Единственное, увлекаться поиском…

  • (no subject)

    Читаю вот этот странный сайт https://kniganews.org нигде не написано, кто автор. Явно человек хорошо понимаюший проблемы современной физики. Кто…

  • (no subject)

    Немного эзотерики в ленту. Если вы интересуетесь юнговской синхронией (это я тут с одной знакомой преподавательницей танцев из Питера обсуждал), то…

  • Post a new comment

    Error

    Comments allowed for friends only

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 2 comments