מכל מלמדײ השכלתי (duchifat) wrote,
מכל מלמדײ השכלתי
duchifat

Categories:

солитоны, скрытые симметрии, симметрия подобия и движения

Еще из прочитанного в книге Арнольда:

"Не все первые интегралы уравнений классической механики объяснены явной симметрией задачи (примеры — специфические интегралы задачи Кеплера, задачи о геодезических на эллипсоиде и т. п.). В таких случаях говорят о «скрытой симметрии».

Интересные примеры такой скрытой симметрии доставляет уравнение Кортевега — де Фриза. Это нелинейное уравнение с частными производными возникло первоначально в теории мелкой воды; впоследствии оказалось, что это же уравнение встречается в целом ряде задач математической физики.

В результате серии численных экспериментов были обнаружены удивительные свойства решений этого уравнения с нулевыми граничными условиями на бесконечности: эти решения при t —> + оо и t —> — оо распадаются на «солитоны» — волны определенной формы, бегущие с разными скоростями.

При столкновениях солитонов наблюдается довольно сложное нелинейное взаимодействие. Однако численный эксперимент показал, что размеры и скорости солитонов не меняются в результате столкновения. Это обстоятельство навело на мысль о законах сохранения. И действительно, Крускалу, Забусскому, Лаксу, Гарднеру, Грину и Миуре удалось найти целую серию первых интегралов для уравнения Кортевега — де Фриза."


Изложение там быстро усложняется, говорится, что "Уравнение Кортевега — де Фриза является уравнением Эйлера для геодезического потока" и что "Соответствующая бесконечномерная группа называется группой Вирасоро и является одномерным центральным расширением группы диффеоморфизмов окружности" (что это значит, я не понимаю). Увидеть скрытую симметрию, приводящую к законам сохранения, я не смог, вероятно, по недостаточной своей образованности и в силу слабого интеллекта.

Есть обзорная статья на 70 страниц R.S. Palais "The symmetries of solitons" Bull. Am. Math. Soc., New Ser. 34, No.4, 339-403 (1997), где можно прочитать о секретных источниках симметрии: "Secret Sources of Soliton Symmetries. This article is titled “The Symmetries of Solitons”, and we have been hinting that many of the remarkable properties of soliton equations are closely related to the existence of large and non-obvious groups of symplectic automorphisms that act on the phase spaces of these Hamiltonian systems and leave the Hamiltonian function invariant. We are now finally in a position where we can describe these groups and their symplectic actions. The groups themselves are so-called loop groups. While they have been around in various supporting roles for much longer, in the past three decades they have been increasingly studied for their own sake and have attained a certain prominence."

Пустое дело, ничего не понятно. В той же статье зато рассказано, как солитоны были открыты в 1834 году в некоем канале в Эдинбурге:

"John Scott Russell, in an oft-quoted paper [Ru], reported an experience a decade earlier in which he followed the bow wave of a barge that had suddenly stopped in a canal. This “solitary wave”, some thirty feet long and a foot high, moved along the channel at about eight miles per hour, maintaining its shape and speed for over a mile as Russell raced after it on horseback. Russell became fascinated with this phenomenon and made extensive further experiments with such waves in a wave tank of his own devising, eventually deriving a (correct) formula for their speed as a function of height."
(Об этом см. также http://www.macs.hw.ac.uk/~chris/scott_russell.html)

Итак, согласно теореме Нетер (она очень простая и состоит в том, что производная лагранжиана по соответствующей координате тривиальным образом равна нулю), законы сохранения связаны с симметрией. Бывают системы с законами сохранения, где симметрию не видно, но у них есть скрытые симметрии. Например, атом водорода связан с нeкой хитрой сферой в четырехмерном пространстве, которая дает дополнительную симметрию. Уравнение КдФ тоже связано с какой-то хитрой группой в бесконечномерном пространстве, оно является уравнением Лагранжа для некой другой системы.

А что такое "специфические интегралы задачи Кеплера"? Я что-то не могу сообразить, но интересно, что в задаче Кеплера годограф вектора импульса описывает строгую окружность при движении планеты по эллипсу ("cохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленцa" http://duchifat.livejournal.com/1623872.html). Сам же закон Кеплера вытекает из подобия (размерности).

Нелинейные волны бывают двух типов (как мы знаем из книги Баренблатта). Для первого типа скорость волны может не зависеть от амплитуды и определеться местными законами сохранения, например, в случае ударной волны (где-то приводится пример, что Рaccел якобы знал, что звук от выстрела пушки доносится раньше, чем команда "пли!"). Для второго типа скорость зависит от амплитуды и получается как собственное значение некоторого уравнения. Ур-е КдФ, очевидно, относится ко второму типу, скорость зависит от амплитуды. Б-т (как я уже об этом писал http://duchifat.livejournal.com/1703154.html) установил их эквивалентность двум типа самоподобия, в одном случае эскпоненты подобия вытекают из соображeний размерности, в другом - как собственные значания за счет решения некоего (ренормализационного) уравнения. Эквивалентность устанавливается простой заменой переменных (время и координата ставятся под экспоненту, ζ=ln(x), τ=ln(t)). Я для себя понял так, что за этим стоит эквивалентность Принципа относительности Галилея (равномерноть бегущего в пространстве движения, точнее, независимость процесса от того, в какой точке пространства и времени он происходит) и "калибровочной" инвариантности (связанной с независимостью физического процесса oт выбора масштаба единиц измерения). То есть идея пространства (в этаком кантовском смысле) и идея единиц измерения - две стороны одного и того же.
Tags: mechanics
Subscribe

  • (no subject)

    Стал читать (увы, в Википедии) про методы сокращения размерности и анализ главных компонент, узнал много новых слов и имен. :) Вот например статья…

  • (no subject)

    Прочитал по ссылке у roman_kr на работы советский физиков o Commensurate-incommensurate phase-transition. А конкретно вот эту статью в швейцарском…

  • (no subject)

    Заглянул в книгу В. И. Арнольда "Экспериментальное наблюдение математических фактов" ( https://www.mccme.ru/free-books/dubna/via-exp.pdf) " Случай n…

  • Post a new comment

    Error

    Comments allowed for friends only

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments