מכל מלמדײ השכלתי (duchifat) wrote,
מכל מלמדײ השכלתי
duchifat

Categories:
1) По поводу кругового годографа вектора скорости (или импульса) в задаче Кеплера (которую так любит shkrobius). Элементарное выведение этого факта такое (V - вектор скорости, k - единичный вектор в направлении центра притяжeния, R - расстояние до центра притяжения, θ - угловая координата). С точностью до множителей:

dV/dt = k / r2 (второй з-н Ньютона плюс з-н всемирного тяготения)

dθ/dt = 1 / r2 (второй з-н Кеплера)

Следовательно,

dV/dθ = k

Ч.т.д. (ежели производная вектора всегда равна перпендикулярному ему единичному вектору, то он вращается по окружности). Замена переменной времени t -> θ сразу же превращает эллипс в окружность. Можно сказать (хотя есть ли польза в таком высказывании - другой вопрос), если бы единицы времени устанавливались пропорционально движению Солнца по эклиптике, з-н всемирного тяготения имел бы вид dV/dθ = k, т.е. сила тяготения постоянна. А вот с рассечениями четырехмерной сферы что-то у меня не пошло.
* * *

2) В кеплеровой задаче пять независимых интегралов движения, определяющих решение (поскольку начальными условиями задаются положение и скорость в 3D, минус произвольно выбранный начальный момент времени); в плоской задаче (а она всегда плоская) - три. Это энергия, три компонента момента количества движeния (один в 2D) и одна компонента (направление) вектора Лапласа-Рунге-Ленца. По сути сохранение ЛРЛ означает сохранение ориентации эллипса, по которому происходит движение (величина и ориeнтация ЛРЛ это попросту эксцeнтриситет и направление большой полуоси орбиты).

opegs (http://duchifat.livejournal.com/1867610.html) дал ссылку на красивую статью с обобщением теоремы Нетер, где сохранение ЛРЛ выводится из определенной формы варьирования координат (http://www.iap.tu-darmstadt.de/tqp/uebungen/km12/A1.pdf).

В связи с этим имею вопрос, а что такое интеграл движения и что такое симметрия, и насколько далеко мы можем обобщать эти понятия? Я имею в виду вот что: движение по эллипсу - важное свойство, но можно ли его считать интегральной характеристикой движения?

Меня сейчас интересует движение с диссипацией, когда к правой части лагранжиана добавляют производную ∂F/∂v диссипативной функцию Релея вида F= b V2/2). Ясно, что теорема Нетер в этом случае не работает, поскольку у нас больше не получится члена вида

d/dt [ f(x, v, t) ∂L/∂V - Λ(x, v, t)] = 0

В правой части будет вместо нуля ∂F/∂v. Но что нам мешает проинтегрировать ∂F/∂v и дальше обобщить наше уравнение? Что мешает ввести замену координат типа x*exp(-t)? Ясно же, что у затухающих колебаний тоже есть инварианты (вроде частоты и лог-декремента), они не хуже "формы эллипса" и, наверно, тоже соответствуют неким симметриям? Или так низзя?
* * *

3) Все же о различии обобщенных и реальных декартовых координат, см http://duchifat.livejournal.com/1867610.html. Согласно Л&Л, материальная точка это "тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения" (с этого определения начинается первый параграф курса Л&Л). Но это определение зависит от того, как конкретно вы берете предел. Скажем, для диска радиусом R, катящегося по поверхности, энергия равна (3/2)mR2*(V2/R2)/2. Если вы устремите радиус к нулю, то не получите mV2/2. :) То есть размерами-то можно пренебречь, но материальной точки не получается!

Другими словами, в первой строке учебника из SO(3)xR3 сознательно исключено вращение SO(3) тел, без какой-либо джастификации! :) В результате вы получаете вращение по цикличeской координате как вторичное по отношению к R3 движение. В частности, момент количества движения М вторичен по отношению к импульсу P. А затем в главе "Движение твердого тела" заново строите SO(3) и вводите понятие твердых тел. Которое, заметим, вы уже использовали в первом предложении вашего учебника! :)

Той же логике следует и отсутствие симметрии в определении импульса и момента импульсa:

"Вектор P = ∂L/∂v называется импульсом системы."

"Величина М = r x P называется моментом импульса".

В первом случае определение через лагранжиан, и речь фактически идет об ОБОБЩЕННОМ импульсе, сохранение которого вытекает из независимости лагранжиана от ОБОБЩЕННОЙ координаты. Во втором случае такой общности нет и подразумеваются декартовы координаты.

За этой логикой, очевидно, стоит тот факт, что вращение по циклической координате не аналогично прямолинейному движению (например, равномерно вращающяяся система отсчета неинерциальна). Но строго логически оно не вводится.

Ситуация, когда у одной секты все логично, но не работает (мeханика), а у другой секты не логично, но работает (физика), что-то мне очень напоминает! (Шутка: это я имел в виду караимов и календарь, но шутку все равно никто не поймет). :)
Tags: mechanics, teaching
Subscribe

Comments for this post were locked by the author