מכל מלמדײ השכלתי (duchifat) wrote,
מכל מלמדײ השכלתי
duchifat

О неполноте ньютоновой механики материальных точек, когда речь идет о вращении

В продолжение разговора http://duchifat.livejournal.com/1870431.html?thread=9681503#t9681503

Итак, выводится ли закон динамики вращения (вида "угловое ускорение, умноженное на момент инерции, равно моменту приложенных внешних сил") из закона движения материальной точки, т.е второго з-на Ньютона ("масса на ускорение равно приложенной внешней силе")? Как ни странно, вопрос не так прост. Закон динамики вращения иногда называют законом Эйлера, по Кл. Трусделлу, вторым з-ном Эйлера, в форме dM/dt=T (где M момент импульса, а T момент сил), в то время как первый закон Эйлера (он же второй з-н Ньютона) dP/dt=F.

В учебниках физики, где исследуется динамика систем материальных точек, например, в "Механике" Ландау и Лифшица (пар. 34 Л&Л http://pskgu.ru/ebooks/l01/l_gl06_34.pdf) выводят уравнение Эйлера (34.3). При этом авторы рассматривают движение точек твердого тела (вообще говоря, это движение со связями, где действует сила реакции связей), объявляя момент внешних сил суммой rxf для индивидуальных точек и проговаривая: "Как и в полной силе F, в сумме (34.4) фактически должны учитываться лишь внешние силы; в соответствии с законом сохранения момента импульса сумма моментов всех сил, действующих внутри замкнутой системы, должна обращаться в ноль." [кому должна? :) ].

Мне показалось, что из з-на сохранения момента импульса самого по себе этого не следует. Это следует из закона сохранения момента импульса при условии 34.3. То есть при обосновании второго з-на Эйлера (dM/dt=T), гласящего, что "изменение момента количества движения в единицу времени равно моменту внешных сил" вы используете сам этот закон, когда объясняете, куда делись силы реакции связей. А если вы обосновываете некий результат с использованием самого этого результата, значит вы его не выводите, а постулируете.

Но я, видимо, не совсем прав. Обычно приводится вот какое рассуждение. Представим две точки в нашем вращающемся теле, А и B. Между ними действуют две противоположные (по 3 з-ну Ньютона) силы, FAB = - FBA Если силы действуют вдоль одной линии, то их момент в любой системе отсчета взаимоуничтожается: RAхFAB = - RBх FBA.

Здесь, правда, подозрительно то, что самого понятия внутренних сил для твердого тела нет. Вместо него есть понятие силы реакции связи на виртуальное перемещение. А как эти виртуальные силы в разных точках А и Б подчинены третьему закону Ньютона, нужно еще разобраться. Но, как пишут умные люди, гораздо важнее другое. Более проблематично предположение, что силы центральны (т.е. действуют вдоль одной линии). Это не всегда так:

"When most textbooks come to discuss angular momentum, they introduce a fourth law, that forces between bodies are directed along the line that connects them. It is introduced in order to "prove" the conservation of angular momentum. But this fourth law isn't true at all for molecular forces." http://ctpweb.lns.mit.edu/physics_today/phystoday/%20Whence_cshock.pdf

А вот что пишет Трусделл:

"It is clear enough that in statics the equilibrium of moments is not assured by the equilibrium of forces, nor vice versa. In dynamics, the principle of moment of momentum developed late, and much of the earlier work concerning it gives the impression that the two principles were somehow hoped to be equivalent, so that there would be but a single law of motion. This illusion is fostered in the teaching of mechanics by physicists today.

... EULER and DANIEL BERNOULLI in their early work on rigid, linked, or flexible systems frequently invoked the principle of moment of momentum, often disguised by an additional quasi-static assumption. Its importance began to be seen gradually, so that only with difficulty can a particular date be fixed as that in which it rose to the level of a principle of mechanics. I believe the correct date is 1751, the year of publication of EULER'S paper of 1744 which has been mentioned above as the first in which the "NEwTONian equations" are recognized as sufficient to give all the mechanical principles determining the motion of a complex system, the case in point being the taut loaded string. The latter part of this same paper obtains the equations of motion for a system of n rigid rods linked together and subject to arbitrary forces at the junctions. Here the "Newtonian equations" do not suffice. In addition, EULER sets up as an independent principle the balance of moment of momentum about the center of mass of each rod.

... These laws, which may be called Euler's laws of mechanics, imply not only "NEWTON'S laws" for mass-points but also all the other principles of classical mechanics and are just as convenient for continuous bodies as for discrete systems. The first law is equivalent to EULER'S "first principles" of 1750 and yields the general theorem on the center of mass. The second law follows from it in some cases; for example, if al1 forces are absolutely continuous functions of mass and if all torques are the moments of forces; but in more general systems, such as those in which shear stress is present, the second law is independent of the first.

For a rigid body, EULER was able to derive his former equations of motion directly and easily from the second law. The law of moment of momentum is subtle, often misunderstood even today.

In presentations of mechanics for physicists it is usually derived as a consequence of "NEWTON'S laws" for elements of mass which are supposed to attract each other with mutual forces which are central and Pairwise equilibrated. Although the formal steps of this derivation are correct, the result is too special for continuum mechanics as well as methodologically wrong for rigid mechanics:

1. Any forces between the particles of a rigid body never manifest themselves, by definition, in any motion. The condition of rigidity applied to EULER'S second law suffices to determine the motion. To hypothecate mutual forces is to luxuriate in superfluous causes, which are to be excised by OCKHAM'S razor.
2. To introduce mutual forces in a rigid body drags ill action at a distance in a case when it is unnecessary to do so.
3. In continuum mechanics the total force acting upon a finite body arises principally from the stress tensor, which represents the contiguous action of material on material. There is no physical reason to assume that forces arise only from action at a distance, and no purpose served by doing so. If rigid-body mechanics is viewed as a special case of continuum mechanics, the stress within the rigid body is indeterminate and need never be mentioned, but a uniform process based upon EULER'S'second law remains possible.

No work of EULER, nor of any other savant of the eighteenth century, approaches rigid bodies by hypothecating forces acting at a distance as in modern books. EULER'S method of discovery tacitly assumes there to be no internal forces at all; the right answer comes out, but we are justified in doubting that the argument be general enough. His final treatment does not make any presumption or restriction regarding the presence or nature of internal forces."

https://eclass.upatras.gr/modules/document/file.php/CIV1558/%CE%99%CF%83%CF%84%CE%BF%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AC/Truesdell.pdf

Другими словами, есть три разные ситуации:
1) Механика сплошных сред, где равновесие сдвиговых напряжeний никак не выводится из равновесия нормальных напряжeний.
2) Статика твердых тел, где закон рычага Архимеда никак не выводится из 3-го з-на Ньютона, хотя есть попытки его вывести из сображeний симметрии.
3) Механика твердого тела, где закон динамики вращения выводится из 2 з-на Ньютона при предположeнии о существовании внутренних сил и их центральности.

Bсе эти ситуации есть следствие использования понятия мaтериальной точки как предела твердого тела. Я бы сказал, что материальная точка -это отображeние R3xSO(3) -> R3. Это связано с тем тонким моментом, что наше эвклидово пространство трехмерное R3, но имеет шестимерную симметрию R3xSO(3) (сдвиг плюс вращение). Ну, а поскольку пространство -- это свойство взаимоотношения тел, то и тела должны бы иметь соответствующую симметрию/размерность.
Tags: mechanics
Subscribe

  • (без темы)

    Согласно Карлу Юнгу, есть вертикальные причинные связи между событиями и есть горизонтальные - синхроничность. (Единственное, увлекаться поиском…

  • (без темы)

    Читаю вот этот странный сайт https://kniganews.org нигде не написано, кто автор. Явно человек хорошо понимаюший проблемы современной физики. Кто…

  • (без темы)

    Немного эзотерики в ленту. Если вы интересуетесь юнговской синхронией (это я тут с одной знакомой преподавательницей танцев из Питера обсуждал), то…

  • Post a new comment

    Error

    Comments allowed for friends only

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 4 comments