January 16th, 2016

Прочитал в книге В. И. Арнольда

Параграф 11. Соображения подобия.

Задача. Животным пустыни приходится преодолевать большие расстояния между источниками воды. Как зависит максимальное время, которое может бежать животное, от размеров животного L?
Ответ. Прямо пропорционально L.
Решение. Запас воды пропорционален объему тела, т. е. L^3, испарение же - площади поверхности, т. е. L^2. Поэтому максимальное время пробега от одного источника до другого прямо пропорционально L, и "корабль пустыни" верблюд - животное большого роста. Заметим, что максимальное расстояние, которое может пробежать животное, также растет пропорционально L (см. следующую задачу).

Задача. Как зависит скорость бега животного по ровному месту и в гору от размеров животного L?
Ответ. По ровному месту ~L^0, в гору L^-1.
Решение. Мощность, развиваемая животным, пропорциональна L^2 (к. п. д. мышц примерно постоянен - около 25%, остальные 75% химической энергии переходят в теплоту; теплоотдача же пропорциональна поверхности тела, т. е. L^2, значит, и полезная мощность пропорциональна L^2). Сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна квадрату скорости и площади поперечного сечения; затрачиваемая на ее преодоление мощность пропорциональна поэтому v^2*L^2*v. Итак, величина v^3*L^2 ~ L^2, следовательно, v ~ L^0. И действительно, скорость бега по ровному месту у животных не мельче зайца и не крупнее лошади практически не зависит от размер особи.
Для бега в гору необходима мощность mgv~L^3*v, а поскольку развиваемая мощность ~L^2, находим v ~ L^-1. И действительно, собака легко взбегаeт на холм, а лошадь замедляeт шаг.

Задача. Как зависит от размеров животного высота прыжка?
Ответ. ~L^0
Решение. Нужная для прыжка на высоту h энергия пропорциональна L^3*h, а совершаемая силой мышц F работа пропорциональна F*L. Сила F пропорциональна (так как прочность костей пропорциональна площади их сечения). Итак, L^3*h ~ L^2*L, т. е. высота прыжка не зависит от размеров животного. И действительно, тушканчик и кенгуру прыгают примерно на одинаковую высоту.
(Примеры о животных взяты из книги - Смит Дж. Математические идеи в биология.- М.: Мир, 1970, 194с).


Ну да, ну да. Сила сопротивлeния воздуха прямо пропорциональна квадрату скорости. Для сверхзвукового самолета - наверно. Логика "теплоотдача пропорциональна поверхности тела, значит, и полезная мощность пропорциональна поверхности тела" отдельно доставляет. Это примеры, случайно, не из книги "Физики шутят"?