January 27th, 2016

солитоны, скрытые симметрии, симметрия подобия и движения

Еще из прочитанного в книге Арнольда:

"Не все первые интегралы уравнений классической механики объяснены явной симметрией задачи (примеры — специфические интегралы задачи Кеплера, задачи о геодезических на эллипсоиде и т. п.). В таких случаях говорят о «скрытой симметрии».

Интересные примеры такой скрытой симметрии доставляет уравнение Кортевега — де Фриза. Это нелинейное уравнение с частными производными возникло первоначально в теории мелкой воды; впоследствии оказалось, что это же уравнение встречается в целом ряде задач математической физики.

В результате серии численных экспериментов были обнаружены удивительные свойства решений этого уравнения с нулевыми граничными условиями на бесконечности: эти решения при t —> + оо и t —> — оо распадаются на «солитоны» — волны определенной формы, бегущие с разными скоростями.

При столкновениях солитонов наблюдается довольно сложное нелинейное взаимодействие. Однако численный эксперимент показал, что размеры и скорости солитонов не меняются в результате столкновения. Это обстоятельство навело на мысль о законах сохранения. И действительно, Крускалу, Забусскому, Лаксу, Гарднеру, Грину и Миуре удалось найти целую серию первых интегралов для уравнения Кортевега — де Фриза."

Collapse )

(no subject)

Как известно, специальная теория относительности (1905) формально следует из уравнений Максвелла (1865). Если представить фантастический искусственный сверхинтеллект, который мог бы делать логические выводы из всех логических предпосылок, то как только ему на ввод дали бы ур-я Максвелла, он, по-идее, должен бы был выдать СТО на выходе. На деле же людям потребовалось сорок лет блуждания по пустыне, размышлений и интерпретаций, прежде чем СТО была сформулирована. Аналогичная ситуация с квантовой механикой, уши ее торчат в статистической физике. Больцмановское определение энтропии и парадокс Гиббса (из которого следует неразличимость частиц) - классические вещи, из которых напрашиваются некоторые постулаты КМ.

Меня же иногда удивляет другой базовый принцип в современной физике, который все физики знают как таблицу умножения, но, почему-то, редко рассказывают нам, философствующим любителям. Это "калибровочная инвариантность", вещь довольно простая, на уровне "Фейнмановских лекций" (хотя я не помню, есть ли она там), например, в учебнике Ландау и Лифшица http://pskgu.ru/ebooks/l02/l2_gl03_18.pdf и http://pskgu.ru/ebooks/l04/l4_gl01_04.pdf. В КМ основным понятием является волновая функция, для которой важна амплитуда, а фаза ни на что наблюдаемое не влияет (хотя, конечно, важна при вычислениях). При этом если фазу изменить локально (то есть в разных точках пространства на разную величиму), это эквивалентно электромагнитному полю. Этот принцип лежит в основе Стандартной модели, поскольку в более изощренном виде он приводит не только к электромагнитным, но и к электрослабым и сильным взаимодействиям, и вообще является основой физики элементарных частиц, начиная с 1960х.

Тот факт, что вообще взаимодействия выводятся из калибровочной инвариантности некоторого поля сам по себе не кажется особенно странным. Странным мне кажется конкретно то, что поле это совпадает именно с фазой волновой функции из ур-я Шредингера в случае электромагнетизма. Нет, ур-е Шерингера не выводится из ур-й Максвелла. Все наоборот: ур-е Ш не инвариантно относитально локальных калибровочных преобразований exp(iψ), из чего с необходимостью вытекает существование электромагнетизма. Выходит, если наш мир квантовый, то в нем логически обязано существовать электричество?

Обратный вывод сделать гораздо труднее, но, можно попробовать. Калибровочная инвариантность электромагнeтизма (возможность добавить определенные члены к электрическому и магнитному потенциалу, которые не изменят величин полей) была известна давно, но до 1960х воспринималась как курьез. Допустим, некий фантастический сверхразум поставлен перед вопросом: в уравнениях какой формы отсутствует инвариантность калибровочных преобразований, которая компенсируется калибровкой э/м поля? Наверно, таким образом можно прийти к комплексным волновым функция и ур-ю Шредингера?

Отдельный вопрос, как обычно, как применить идею скрытых симметрий в классической механике, например, инвариантности, возникающие при трении или при пластической индентации (з-н Табора, http://duchifat.livejournal.com/1703307.html)? Если нечто (вроде "энергии ускорений") существует в одной области механики, то оно должно быть применимо и в других! :)