מכל מלמדײ השכלתי (duchifat) wrote,
מכל מלמדײ השכלתי
duchifat

Categories:
Тождество Эйлера, eiп+1=0, часто приводят как пример некоего потрясающе контр-интуитивного результата, устанавливающего соотношение между вещами, связь которых совсем не очевидна. То есть между геометрией (число пи) и матанализом (экспонента). Ну, наверно, дело там в комплексных числах, которые чудесным образом умножаются таким образом, что их углы складываются согласно формулам для синуса и косинуса суммы углов. Поэтому экспонента мнимого числа в качестве действительной и мнимой части имеет косинус и синус аргумента (экспонента - это практически по определению такая функция, применив которую, сложение заменяют на умножение). Рискну предположить, что контринтуитивность здесь в том, что наше эвклидово пространство - действительное трехмерное с поворотами, и комплексные числа в нем не имеют наглядности. Они запрятаны в самых разных структурах, но операции над ними не опираются на геометрическую интуицию и требует абстрагирования.

Когда я был школьником, меня больше удивляло, что ряд 1-1/3+1/5-1/7+1/9...=п/4 дает число пи (деленное на четыре). Казалось бы, тут только нечетные числа и совсем никакой связи с длиной окружностями. С другой стороны, я тогда где-то прочитал, что связь может быть, если рассматривать площадь вписанных и описанных многоугольников (действительно ли это дает именно ряд 1-1/3+1/5, я не помню).

Есть другие примеры неожиданных связей между разными областями. Например, доказательство Эндрю Уайлсом Великой теоремы Ферма, для которой используются свойства каких-то там очень сложных эллиптических полиномов в бог знает сколько мерном пространстве, которые проходят, либо не проходят, через точки с рациональными или целочисленными значениями (доказательство занимает больше сотни страниц, и разобраться в нем все равно могут только те, кто решает посвятить этому несколько лет жизни).

Еще один пример, который иногда приводят - некое "монструозное лунное сияние" (monstrous moonshine), в результате которого число 196884 появляется в двух очень далеких друг от друга областях математики. Что это за области, увы, мне не хватает ума и мотивации понять. Но совпадение вроде бы оказалось не случайным, за ним стоит некая неинтуитивная связь между далекими вещами.

Я думаю, что "интуитивное" - это то, относительно чего у нас наработана пространственная (или какая-то еще) интуиция. Наверно, хороший модельный пример все же как раз комплексные числа. Которые как-то вот сами настолько самосогласованы, что работают во многом надежнее действительных чисел. В то же время наше пространство эвклидово (то есть действительное и с группой вращений), а при счете и измерении мы используем только целые и действительные числа. Комплексные числа хорошо описывают разные явления, вроде двумерного вращения и двумерных векторов, гармонических колебаний или пространства-времени СТО, но природной интуиции для них нет. Природа, по не совсем понятным причинам, повернута к нам гранью, описываемой натуральными и действительными числами.

Вообще, каким образом работает интуиция, почему-то очень плохо известно. Метод выделения в окружающем мире логических конструкций хорошо известен. Во многом он аналогичен методу естественных наук (с ХVII века), когда ученый рассматривает только те явления, которые можно вырвать из контекста и исследовать в лаборатории. На их основании строит протоколы и язык описания реальности. А затем этим языком описывает все остальные явления. Этот метод условно называется "галилеевским". В ХХ веке (второй половине) стало яcно, что есть немало "негалилеевых" ситуаций, когда разложить явление на элементарные кубики не получается. С логикой, наверно, то же самое. В совокупности явлений мы выделяем только рациональное, а про интуицию часто забываем.
Tags: XVII век, philosophic
Subscribe

  • (no subject)

    1) Морокко, монета в 4 фалса, 1284 год хиджры (1868 н. э.), чеканка г. Фес. царь Мулла Мухаммад IV. В Морокко почему-то не используют арабские цифры…

  • dybr

    Давно для себя понял, почему меня подспудно привлекает нумизматика (коллекционирование монет). Одна из фундаментальных бинарных оппозиций - между…

  • (no subject)

    У Буратино даже похолодел нос - так ему хотелось попасть в театр. - Мальчик, в таком случае возьмите за четыре сольдо мою новую азбуку... - С…

  • Post a new comment

    Error

    Comments allowed for friends only

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 3 comments