מכל מלמדײ השכלתי (duchifat) wrote,
מכל מלמדײ השכלתי
duchifat

Category:
Педагогическое. Интересно, почему в стандартных курсах матанализа для технарей так мало внимания уделяется преобразованию Лежандра?

Как вы понимаете, что такое энергия? Нет, не в смысле m*V^2/2 и не про "интеграл движения", а как понятие? Я думаю, вам придется ввести понятие пространства состояния вашей системы (о различии конфигурационного и фазового пространства, одно из которых является кокaсательным расслоением другого, что и является ПЛ, сейчас речи нет, поскольку речь не о динамике). Скажем, есть измеримая переменная х. Дальше вы предполагаете, что у вашей системы есть энергия как функция состояния, U(х). Затем вы определяете частную производную, f, как сопряженную неизмеримую переменную, dU = f dх.

Ну и как понять, что такое неизмеримая сила f? Конечно, я лукавлю про "неизмеримость", ведь силу нетрудно померить динамометром. Но мы пока в статике, стрелки у нас двигаться не могут, а динамометры еще не откалиброваны. И вообще, я говорю про силу, а имею в виду темперaтуру и энтропию, dU=TdS-pdV. Короче, что такое "сила", мы не понимаем нa этом этапе. Хотя это лукавство, сила как раз базовое мышечное понятие, ее мы непосредcтвенно чувствуем, прямо по Маху. Просто сила и перемещение - педагогически удобный пример сопряженных величин, поэтому приходится делать вид, что сила неизмерима, а перемещение измеримо. Если кому кажется слишком просто, думайте о напряжении и электрическом токе вместо того. А я буду думать o силе и перемещении.

Итак, у нас есть координата, х, мы постулируем, что у системы должна быть внутренняя энергия, U(х). И сразу из этого следует дополнительная энергия U*(f)=fх-U(х) в комплекте с понятием "силы" и с зависимостью f(х). Дальше уже на основании этого определения можете строить и калибровать свои динамометры, которые перемещение стрелки в милиметрах конвертируют в единицы силы, используя кривую (или прямую) f(х).

Итак, нам достаточно использовать понятие "перемещения" (или деформации), предположить существование энергии, применить ПЛ, и это дало нам определение неизмеремого сопряженного понятия "силы" и способ его косвенного измерения. Та же история с другими сопряженными понятиями: температурой и энтропией, давлением и объемом, количеством вещества и химическим потенциалом, силой тока и напряжением, тензором деформации и тензором механического напряжения и т.п.

Ну и что же такое "энергия" после этого? Ну вот это и есть такая штука, что если предположить ее существование и применить преобразование Лежандра, то наводится порядок и умозрительно придуманные неизмеримые понятия вдруг обретают возможность быть определенными через понятия измеримые. Вроде это достаточный аргумент (даже не касаясь соотношений лагранжианов и гамильтонианов, а оставаясь в рамках общей физики), чтобы построению юнг-сопряженых функций и ПЛ уделять некоторое внимание при изучении матанализа для инженеров?
Tags: mechanics
Subscribe

  • Руэда на Стрелке, вчера (меня там нет)

  • (no subject)

    Аркадьев пишет о том, что у "природных" знаков означающее неразрывно с означаемым. А в языке происходит разрыв, фонема, мол, ничего конкретного не…

  • питерские наблюдения

    1) В районе Пяти углов, наверно, штук 50 разных ресторанов. Среди них - израильский Бе-кицер (мне там ожидаемо не понравилось). Еще есть бар "Цыгане…

  • Post a new comment

    Error

    Comments allowed for friends only

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 2 comments