מכל מלמדײ השכלתי (duchifat) wrote,
מכל מלמדײ השכלתי
duchifat

Categories:
Повторю насчет уравнения Кельвина (у меня с первого раза плохо получилось). :) Допустим, есть таз с водой, в воду воткнута тонкая вертикальная капиллярная трубка. По трубке вода поднимается на высоту H, образуя мениск с радиусом R. Давление воды внутри трубки падает быстро но линейно, гидростатика. Давление воздуха (пара) вне трубки падает медленно, но экспоненциально.

На поверхности воды в тазе пар в термодинамическом равновесии с водой (сколько испаряется, столько и конденсируется). Значит, относительная влажность 100%, воздух не может держать больше пара, он выпадает в осадок в виде воды в тазе.

На вершине трубке вода в механическом и в термодинамическом равновесии с воздухом. Механическое равновесие (равенство сил) означает, что кривизна мениска 1/R пропорциональна высоте H. Это по уравнению Лапласа, при пересечении кривой поверхности раздела фаз добавляется давление равное (поверхностное натяжение)/R, а давление в столбе жидкости пропорционально H. Тут уменьшением давления воздуха на высоте Н можно пренебречь, это слишком маленькая высота.

Термодинамическое равновесие означает, что сколько испаряется с кривого мениска, столько и конденсируется. Тут надо понимать, что с вогнутого мениска меньше испаряется (и больше конденсируется), чем с плоской поверхности жидкости. [Места меньше, куда испаряться, пропорционально следу тензора кривизны (сумме обратных радиусов главных нормалей, или просто 2/R) - но мы это как раз и ищем]. То есть парциальное давление пара на высоте трубки меньше, чем на уровне таза. Здесь уже изменением давления пара с высотой нельзя пренебречь, поскольку именно оно нас и интересует. Оно уменьшается по экспоненте. Значит, равновесное парциальное давление пара уменьшается как eхp(-H) или eхp(-1/R). Таким образом, логарифм относительной влажности (отношения парциального давления пара к парциальному давлению насыщенного пара) пропорционален 1/R. Что и требовалось доказать!

Коэффициент пропорциональности тоже можно найти, но идея в том, чтобы обосновать логарифмическую зависимость. Она в данном случае следует из идеи экспоненциальной зависимости давления идеального газа от высоты. В свою очередь, эту экспоненциальную зависимость обосновать можно двумя разными способами. С одной стороны, очень просто из соображений подобия. Плотность газа пропорциональна давлению, значит давление колонны газа пропорционально интегралу от плотности, то есть интегралу от давления по высоте; функция, интеграл которой пропорционален ей самой - экспонента.

По несколько более хитрым термодинамическим соображениям, экспонента появляется из статистической механики. Энергия и энтропия аддитивны (экстенсивное свойствa), а количества возможных случаев перемножаются. Поэтому энтропия пропорциональна логарифму числа состояний, S=k ln(W), и энергия пропорциональна логарифму вероятности. Или наоборот, вероятность пропорциональна экспоненте энергии состояния, p~exp(-E/kT). Отсюда уже недалеко до идеи, что потенциальная энергия молекулы пропорциональна высоте на которую та может залететь. Значит, число молекул идеального газа, забравшихся на высоту Н, экспоненциально убывает с высотой.
Tags: science
Subscribe

  • dybr

    В Питере нарастает волна эпидемии, я очень боюсь, что, танцы закроют. Тут провакцинировано только 10% населения (а для стадного иммунитета надо 50%),…

  • (no subject)

    Много говорят о версии утечки вируса из Уханского институте вирусологии. При этом никаких новых данных в пользу этой версии нет. Эта версия…

  • (no subject)

    Бачата в Парке Победы вчера

  • Post a new comment

    Error

    Comments allowed for friends only

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 5 comments