מכל מלמדײ השכלתי (duchifat) wrote,
מכל מלמדײ השכלתי
duchifat

По поводу предыдущего поста. Книжка И. В. Ященко про матлогику для школьников, по мне так, написана довольно плохо, непонятно, что чем обозначено, трудно следить. В Википедии видимо, более четкое объяснение парадокса Банаха-Тарского, хотя тоже не очень прозрачное. Но Википедия, хоть и не говорит, но намекает, что суть во фрактальном поведении:


The free group with two generators a and b consists of all finite strings that can be formed from the four symbols a, a−1, b and b−1 such that no a appears directly next to an a−1 and no b appears directly next to a b−1. Two such strings can be concatenated and converted into a string of this type by repeatedly replacing the "forbidden" substrings with the empty string. For instance: abab−1a−1 concatenated with abab−1a yields abab−1a−1abab−1a, which contains the substring a−1a, and so gets reduced to abab−1bab−1a, which contains the substring b−1b, which gets reduced to abaab−1a. One can check that the set of those strings with this operation forms a group with identity element the empty string e. This group may be called F2.

The group {\displaystyle F_{2}} can be "paradoxically decomposed" as follows: Let S(a) be the set of all non-forbidden strings that start with a and define S(a−1), S(b) and S(b−1) similarly. Clearly,




{\displaystyle F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})}


but also




{\displaystyle F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a),}


and




{\displaystyle F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b),}


where the notation aS(a−1) means take all the strings in S(a−1) and concatenate them on the left with a.

This is at the core of the proof. For example, there may be a string {\displaystyle aa^{-1}b} in the set {\displaystyle aS(a^{-1})} which, because of the rule that {\displaystyle a} must not appear next to {\displaystyle a^{-1}}, reduces to the string {\displaystyle b}. Similarly, {\displaystyle aS(a^{-1})} contains all the strings that start with {\displaystyle a^{-1}} (for example, the string {\displaystyle aa^{-1}a^{-1}} which reduces to {\displaystyle a^{-1}}). In this way, {\displaystyle aS(a^{-1})} contains all the strings that start with {\displaystyle b}, {\displaystyle b^{-1}} and {\displaystyle a^{-1}}.

Group F2 has been cut into four pieces (plus the singleton {e}), then two of them "shifted" by multiplying with a or b, then "reassembled" as two pieces to make one copy of {\displaystyle F_{2}} and the other two to make another copy of {\displaystyle F_{2}}. That is exactly what is intended to do to the ball.

Картинка из Википедии (диаграмма Кэли) это поясняет. Древо на картинке состоит из четырех ветвей, но его можно представить как одну ветвь S(a) и увеличенную противоположную . Короче, как-то извращенчески представили шар фракталом, а потом растянули, получилось два таких же фрактала, вот и весь "парадокс". Осталось только понять, почему для этого нужен трехмерный шар, а двумерный круг не работает, но это тоже, кажется, понятно из картинки с диаграмой Кэли (картинка нужна двумерная, две независимые порождающие группы вращения могут быть только у трехмерного вращения). А вот Ященко ничего такого не проговорил в своей школьной книжке. (Там есть еще технические детали с вырожденными точками, совпадающими с осями поворота. Но это детали, а суть ясна: растянул фрактал, получил два таких же.). 1926 год, слова фракталы не было, но все уже известно. Кажется, ни к чему практическому этот парадокс не приложить.


Subscribe

  • (no subject)

    Согласно Карлу Юнгу, есть вертикальные причинные связи между событиями и есть горизонтальные - синхроничность. (Единственное, увлекаться поиском…

  • (no subject)

    Читаю вот этот странный сайт https://kniganews.org нигде не написано, кто автор. Явно человек хорошо понимаюший проблемы современной физики. Кто…

  • (no subject)

    Немного эзотерики в ленту. Если вы интересуетесь юнговской синхронией (это я тут с одной знакомой преподавательницей танцев из Питера обсуждал), то…

  • Post a new comment

    Error

    Comments allowed for friends only

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments